Le colloque international « Histoire et philosophie des mathématiques et disciplines associées en Méditerranée », qui s’est déroulé du 4 au 6 novembre 2015 à Aix Marseille Université, a réuni 35 chercheurs et une vingtaine d’étudiants des trois cycles universitaires et permis des échanges fructueux entre philosophes épistémologues, historiens et mathématiciens.
Cette “restriction” aux mathématiques et disciplines associées a été choisie pour centrer les débats sur la place particulière qu’occupent les mathématiques entre sciences et philosophie. Une sorte de trait d’union qui n’est pas étranger au dialogue qui peut s’établir entre elles. On constate ce rôle fondamental que les mathématiques ont eu dans les moments importants du développement des connaissances scientifiques, marqués par une réflexion philosophique profonde menée par les savants sur leur propre discipline, réflexion qu’ils ont pu élargir aux sciences en général et qui a permis l’émergence d’idées nouvelles, parfois révolutionnaires, sur la conception du monde et la compréhension de l’être humain.
Ces échanges ont été orientés selon trois axes :
1. l’étude historique des traditions conceptuelles
2. l’étude épistémologique des indentités disciplinaires
3. l’étude philologique des traditions textuelles et des traductions.
Ce sont là trois approches que le programme du colloque a distingué mais qui ne sont en fait que trois moments du travail conjoint de l’historien et du philosophe des sciences, qui se complètent pour expliquer la formation des savoirs.
- La première journée a été consacrée à la circulation et à la transmission des savoirs qui posent les problèmes historiques du développement des traditions conceptuelles ainsi que du passage, parfois, de ces savoirs d’une discipline à l’autre.
Hossein Masoumi Hamedani, professeur à l’Université de Téhéran et membre du Centre de la Grande Encyclopédie, spécialiste des mathématiques et de la physique écrites en arabe et en persan, a montré comment les textes mathématiques du savant de la fin du Xe siècle, Ibn al-Haytham, connu en latin comme Alhazen, ont été diffusés et lus par les philosophes. Il s’est notamment appuyé sur l’exemple de Fakhr al-Dīn al-Rāzī, philosophe et théologien persan de la seconde moitié du XIIe siècle, qui a emprunté au mathématicien certains théorèmes de géométrie pour invalider la thèse atomiste de la constitution du monde. Son étude souligne un aspect des rapports entre la philosophie et la théologie, d’une part, et entre la philosophie et la science, d’autre part, à une époque où ces dernières disciplines se sont notablement rapprochées.
Abdelmalek Bouzari, professeur à l’École Normale de Kouba (Alger), s’intéresse à la circulation des textes algébriques entre Maghreb et Orient à partir du XIIe siècle. Il a montré, dans un premier temps de sa communication, comment il est possible, à partir de l’examen des manuscrits arabes qu’il mène au Maghreb depuis une trentaine d’années, de supposer la présence, dès le XIIe siècle, des deux plus importants ouvrages de la tradition algébrique arabe rédigés à Bagdad au IXe siècle, l’un par al-Khwārizmī et le second par son successeur Abū Kāmil. Il a ensuite présenté les principaux traités algébriques conçus au Maghreb entre le XIIe et le XIVe siècles, notamment le poème mathématique connu sous le nom d’al-Yāsamīniya, et montré qu’ils ont, à leur tour, circulé vers l’Orient, comme le montrent les traces que l’on peut en suivre en Égypte au XVe siècle.
Sabine Rommevaux, chercheur à l’Université Paris Diderot-Paris 7, a montré comment le mathématicien allemand, Michael Stifel, actif au milieu du XVIe siècle à Nuremberg, s’est approprié les travaux et surtout les méthodes développées par Jérôme Cardan, l’auteur du célèbre ouvrage de l’Ars Magna, dans son traité d’arithmétique pratique paru quelques années auparavant. Cette étude sur la circulation des idées en mathématiques est tout à fait intéressante car elle témoigne de la vitalité des échanges qui se sont produits dans ce domaine au XVIe siècle, entre Europe du Sud et du Nord.
La journée s’est poursuivie par une communication conjointe de Bernard Vitrac, chercheur dans l’équipe Anthropologie et Histoire des Mondes Antiques de Paris et connu pour avoir publié la première traduction française des Éléments d’Euclide faite après l’édition critique de J.L. Heiberg publiée à la fin du XIXe siècle, et Tony Levy, spécialiste des mathématiques écrites en hébreu et chercheur au laboratoire Sphere (CNRS — Université Paris Diderot- Paris 7). Leur communication a mis en évidence que parmi les sources utilisées par Mordekhai Comtino, savant juif ayant vécu à Constantinople au XVe siècle et dont l’œuvre exégétique et scientifique fut prolifique, pour la rédaction de son ouvrage connu sous le titre « Livre sur le calcul et la mesure », on trouve les Metrica de Héron, savant alexandrin du Ier siècle de l’ère chrétienne. Leur étude leur a permis même de prouver que Comtino a utilisé un manuscrit grec copié vers 950 par le moine Ephrem, unique codex actuellement connu contenant les Metrica de Héron, et donc d’affirmer que le précieux codex — le plus ancien manuscrit du corpus métrologique grec — n’a jamais quitté Constantinople-Istanbul.
À partir de fragments de textes issus d’un traité du XIe siècle rédigé par le roi de Saragosse, Ibn Hūd, Mohamad Al-Houjairi, professeur à l’Université libanaise de Tripoli, a d’une part expliqué comment le corpus théodosien dans le domaine de la géométrie de la sphère a circulé dans le monde arabo- musulman et d’autre part, il s’est attaché, à partir des différentes versions du texte de Théodose, à examiner la question : comment les géomètres de l’antiquité ont-ils traité les problèmes variationnels et d’extrema, en l’absence d’outils analytiques appropriés ?
Cette première journée a ainsi permis de mettre en évidence les formes sous lesquelles, à différentes époques et entre différentes cultures, les savoirs mathématiques ont circulé et ce que cette circulation / transmission signifie.
- La deuxième journée, centrée sur les problèmes théoriques et épistémo-
logiques, a constitué un temps fort de ce colloque. Elle a rassemblé les communications relatives à l’étude de l’identité des disciplines. Cette étude est destinée à expliquer aussi bien l’organisation des savoirs au croisement des disciplines, que la constitution de nouveaux champs.
Alain Michel, professeur émérite au département de philosophie d’AMU, a montré que la véritable conception de David Hilbert, mathématicien allemand qui a marqué le tournant du XIXe au XXe siècle, que l’on appelle la “doctrine hilbertienne des mathématiques”, a suscité une présentation renouvelée de leur histoire. En prenant pour guides les thèmes analytiques de Hilbert, en particulier l’option ensembliste et l’idée de l’axiomatisation, A. Michel a d’abord établi qu’il est légitime de délimiter, à l’intérieur des traités d’Euclide et d’Archimède, les contours d’une « théorie de la mesure » de contenu suffisamment précis, pour ensuite situer cette théorie dans un contexte plus général de recherche de mise en ordre des énoncés et d’en éclairer ainsi la signification du point de vue de la rationalité mathématique.
Massimo Mugnai, professeur à l’École Normale de Pise, a présenté l’œuvre en logique de Giovanni Girolamo Saccheri, qui enseigna la philosophie, la théologie et les mathématiques à l’université de Turin, puis à Pavie à la fin du XVIIe et au début du XVIIIe siècle. Cette œuvre, tombée dans l’oubli jusqu’à ce que Eugenio Beltrami ne la redécouvre au XIXe siècle, est marquée par l’étude des problèmes d’axiomatisation des géométries non-euclidiennes. Cette étude a conduit Saccheri à développer une logique démonstrative que M. Mugnai, par une analyse précise, situe entre la tradition scholastique et les mathématiques pures.
Éric Audureau, chercheur au Centre Granger, a montré l’importance des traités dits “mineurs” du savant alexandrin Euclide, comme l’Optique et les Phénomènes, très peu, voire pas du tout, lus et étudiés, en comparaison des Éléments que l’on considère en général comme l’œuvre principale du mathématicien. Son étude le mène à montrer à quel point les discussions contemporaines sur la nature non euclidienne de l’espace, discussions incessantes depuis les succès de la théorie de la relativité générale, peuvent être confuses.
Julia Jankowska, membre de l’Institut de Philosophie de l’Université de Varsovie, compare l’attitude qu’ont eu les grands savants, tels Kurt Gödel ou Albert Einstein, en menant des réflexions philosophiques sur les grandes questions soulevées par leurs travaux, et la tendance contemporaine à subdiviser les champs disciplinaires en de multiples domaines spécialisés qui deviennent imperméables les uns aux autres. En se plaçant entre deux “sous- disciplines” de la philosophie, la philosophie du langage et la philosophie des mathématiques, J. Jankowska a montré l’utilité de les faire dialoguer entre elles, en analysant les conditions qui permettent d’appliquer les arguments développées dans l’une aux questions posées par l’autre.
Mirella Fortino, professeur de philosophie au Lycée E. Fermi de Cosenza, en Calabre, s’est intéressée aux travaux que Pierre Duhem a mené entre philosophie et histoire des sciences. L’épistémologie de Duhem est centrée sur le problème de l’opposition entre la tradition des mathématiciens engagés à sauver les apparences et le réalisme des physiciens – philosophes profondément attachés à découvrir la vérité. La position que Duhem est amené à défendre, en raison de l’implication des mathématiques dans son épistémologie, est celle de la sauvegarde des phénomènes. C’est du moins la thèse en vigueur. Mais M. Fortino explique comment nous devons relire ces travaux pour résoudre certaines impasses interprétatives de l’anti-réalisme de Duhem.
Cette session du colloque a montré combien le dialogue entre philosophie et sciences a souvent permis de reconsidérer les disciplines scientifiques dans leur identité et dans leur relations mutuelles. Cette question de l’évolution des identités disciplinaires peut devenir l’objet de recherches futures sur les rapports entre la constitution et l’organisation des disciplines et les milieux humains au sein desquels elles se sont développées.
La seconde session de cette deuxième journée, a été consacrée aux études sur l’algèbre, formant un ensemble très cohérent. L’histoire de cette discipline est
très particulière, c’est pratiquement la seule dont on peut situer précisément la naissance dans l’ouvrage d’al-Khwārizmī rédigé autour de 830.
Marouane Ben Miled, professeur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis, a réinterprété les fondements de la théorie d’al-Khwārizmī, dont la compréhension n’est pas toujours claire, en recentrant l’analyse sur l’opposition logique entre forme et sens. En effet, M. Ben Miled soutient que les procédés que décrit al-Khwārizmī pour résoudre les six équations canoniques construites par un procédé combinatoire, dans les premières pages de son Algèbre ne sont pas des propositions : ils ne sont ni vrais, ni faux et ils ne prendront leurs sens qu’une fois interprétés arithmétiquement et/ou géométriquement. Il appuie cette analyse par l’étude logique des termes, nouveaux, introduits par al-Khwārizmī pour désigner les objets élémentaires de cette nouvelle discipline.
Foued Nafti, doctorant en cotutelle d’Aix Marseille Université et de l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis, a présenté un texte inédit d’un algébriste du Xe siècle, al-Karajī, dans lequel celui-ci pose les fondements de l’algèbre et expose les premières démonstrations algébriques au sens propre du terme.
Eleonora Sammarchi, doctorante à l’Université Paris Diderot-Paris 7, s’est
intéressée au traité d’algèbre d’un mathématicien persan du XIIIe siècle, al- Zanjānī, qui se situe dans la tradition des recherches arithmético-algébrique de l’école d’al-Karajī. L’objectif premier de ces recherches étaient de développer le caractère opératoire de l’algèbre afin de parvenir à une théorie exhaustive du calcul algébrique qui a placé la notion d’opération au cœur de la réflexion en algèbre. L’examen de ce traité d’al-Zanjānī a permis à E. Sammarchi de donner une vision d’ensemble des thématiques développées par cette tradition, de montrer les changements significatifs qui se sont produits à la suite d’al-Karajī dans les contenus, mais aussi la forme et le lexique mathématiques, et d’affirmer qu’en parallèle du travail de théorisation du calcul algébrique, on trouve des tentatives de théorisation des types de problèmes que l’on rencontrait en algèbre.
Nacera Bensaou, également doctorante à l’Université Paris Diderot-Paris 7, s’est, elle, intéressée au traité intitulé Perfectionnement des sources du calcul qu’al-Asfahānī, mathématicien persan, publie en 1824. Ce traité est surprenant à plus d’un titre. Restreint par le nombre de ses pages, dense par le nombre d’algorithmes qu’il propose, il est rédigé dans la langue et le style des mathématiques arabes « traditionnelles », sans symbolisme mathématique, et pose le problème de la résolution des vingt-cinq équations cubiques, posées et résolues par ses lointains prédécesseurs des XIe et XIIe siècles, ‘Umar al- Khayyām et Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Et l’intérêt principal de ce traité réside dans le fait que son auteur développe une approche nouvelle et totalement algébrique, sans aucun recours à la géométrie, ce que ses prédécesseurs n’avaient pas manqué de faire.
- La matinée du troisième jour s’est organisée autour d’une session plus technique sur les problèmes philologiques posés par l’étude des traditions textuelles et par les traductions.
Pascal Crozet, directeur du laboratoire Sphere, a développé des réflexions sur le rôle de la langue arabe comme véhicule du discours mathématique. Plusieurs aspects ont été ainsi mis en évidence, comme la création d’un nouveau lexique, dans la période ancienne Xe, XIe siècles, rendue nécessaire par la constitution de nouveaux objets mathématiques, ou les problèmes de traduction de termes techniques scientifiques importés des cultures européennes en Égypte au XIXe siècle.
Alexandre Cerveux, musicologue à l’Université Paris-Sorbonne, a présenté la version hébraïque d’un traité de musique attribué à Abū al-Ṣālt, savant de la fin du XIe siècle, qui semble être une adaptation du Grand livre de musique rédigé par al-Fārābī au Xe siècle. Ce traité est remarquable en ce qu’il présente de manière pointue les différents aspects de la théorie musicale arabe médiévale et des notions d’organologie. D’un point de vue philologique, son étude contribue au développement de la lexicographie de l’hébreu médiéval.
A. Cerveux a expliqué le contexte de la traduction de ce traité, son apport conceptuel, et il a étudié l’assimilation et l’expression de certains concepts dont il atteste, comme les proportions, la production d’intervalles et l’harmonie. Il l’a replacé dans la perspective d’autres sources juives médiévales où s’illustrent la pensée musicale et mathématique.
Pierre Ageron, chercheur au Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme et à l’IREM de l’Université de Caen, s’est intéressé à la traduction des textes scientifiques d’Europe occidentale en arabe, entre le XVIIe et la fin du XIXe siècle. Il a notamment expliqué que les problématiques spécifiques liées à l’activité de traduction pouvaient justifier d’en proposer une étude unifiée et autonome. Selon lui, une telle étude devrait permettre une approche globale de questions comme la légitimité religieuse de la traduction et la sélection des ouvrages à traduire, permettre la comparaison des pratiques en matière de terminologie, de notations et de mise en page et permettre de comprendre la circulation des traductions qui se sont produites d’un pays à l’autre.
Stefan Neuwirth, chercheur au Laboratoire de mathématiques de Besançon, s’est interrogé sur les problèmes philologiques posés par l’étude des paradoxes de Zénon. Sa réflexion s’appuie sur l’examen des fragments attribués au philosophe d’Élée, publié par Hermann Diels et Walther Kranz dans leurs Présocratiques.En comparant le lexique de Zénon à celui du livre VI de la Physique d’Aristote, dans lequel celui-ci discute les arguments de Zénon contre le mouvement, il en est venu à comparer les deux séries de paradoxes et à constater l’évolution du sens des termes et des formules utilisés. Cela lui a permis de discuter la thèse selon laquelle les paradoxes de Zénon traitent de la possibilité de tenir un discours mathématique sur le monde physique et d’en montrer les limites.
La dernière demi-journée du colloque a donné lieu à une table ronde réunissant les représentants d’équipes françaises et internationales situées à Aix en Provence, Marseille, Paris, Pise, Tunis, Tripoli (Liban), Alger et Téhéran.
Cette table ronde a été introduite par Anas Ghrab, professeur de musicologie à l’Institut Supérieur de Musique de Sousse (Tunisie), qui s’intéresse à l’exploitation des ressources textuelles arabes manuscrites sur la musique. Ce travail a été entamé de manière systématique depuis le XIXe siècle, et le XXe siècle a vu apparaître un certain nombre de catalogues spécialisés afin de localiser et décrire ces manuscrits, ce qui a permis le développement d’éditions critiques de ces textes. A. Ghrab s’est alors interrogé sur les solutions les plus appropriées à la poursuite de ce travail dans l’univers numérique.
Il a présenté le projet Saramusik qu’il est en train de développer sur un site internet, destiné à explorer différentes technologies disponibles afin de mettre en place un catalogue unique des manuscrits arabes sur la musique. Ce catalogue permettra également l’incorporation d’une édition critique de ces textes et ce projet vise aussi à intégrer les recommandations de la Text Encoding Initiative.
Les participants à cette table ronde ont alors chacun pris la parole pour décrire la situation propre à leur pays ou à leur université, en matière de ressources bibliographiques, d’exploitation des sources manuscrites et des possibilités d’échanges scientifiques. Diverses questions ont été abordées : la création d’un réseau méditerranéen d’histoire et de philosophie des sciences, la mutualisation des sources et des ressources documentaires, la possibilité de travail de collaboration sur la bibliographie, la création, à partir des données et des outils existant déjà, d’une base de données des manuscrits.
Le noyau des recherches envisagées pour ce réseau de collaborations, sera constitué autour des mathématiques écrites en arabe, mais il sera essentiel de le ramifier en amont et en aval, du point de vue chronologique. Nous devrons en préciser les contours.
La question de la formation des étudiants en histoire et en philosophie des sciences a également été abordée et nombreux sont ceux qui expriment une demande sur ce point, car il n’existe aucun cursus spécifique d’histoire et de philosophie des sciences dans leur université.
Les exposés de très bonne qualité nous ont conduits à lancer le projet de publication des actes auprès des Presses Universitaires de Provence, calendrier prévisionnel : parution en juin 2017.
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Le Centre Granger remercie Aix Marseille Université et tous les partenaires, le CNRS, le LabexMed, l’Association Méditerranéenne d’Histoire des Sciences, A*Midex, la Communauté du Pays d’Aix, le Conseil Général des Bouches du Rhône, le laboratoire Sphere (UMR 7219) et la bibliothèque de l’Alcazar, pour le soutien et l’aide qu’ils ont apporté à l’organisation et au bon déroulement de ce colloque.
